Bahan Ajar Bangun ruang Pisma dan Limas kelas VIII

PRISMA DAN LIMAS

A.    Pengertian

       1. Limas 

Perhatikan bangun-bangun  ruang di bawah ini!

           

(a)                                      (b)                             (c)

Bangun-bangun ruang di atas memiliki satu bidang sebagai alas, sedangkan bidang-bidang lainnya berbentuk segitiga yang bertemu pada satu titik puncak. Bangun ruang seperti inilah yang dinamakan limas. Jadi limas adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah segi banyak (segi n) dan segitiga-segitiga yang mempunyai titik puncak persekutuan di luar bidang segibanyak itu.

Jenis limas ada beberapa macam dan diberi nama sesuai dengan bentuk bidang alasnya. Misalnya, gambar (a) dinamakan limas segiempat, gambar (b) disebut limas segilima, sedangkan gambar (c) dinamakan limas segitiga. 

      2. Prisma

Perhatikan gambar bangun ruang berikut ini!

Bangun-bangun ruang di atas semuanya mempunyai dua bidang yang sejajar serta bidang-bidang lainnya berpotongan menurut garis-garis yang sejajar. Bangun-bangun ruang seperti inilah yang dinamakan prisma. Jadi prisma adalah bangun ruang yang memiliki sepasang bidang sejajar dan kongruen yang merupakan alas dan tutup. Sedangkan bidang-bidang lainnya diperoleh dengan menghubungkan titik-titik sudut dari dua bidang yang sejajar.

Jenis prisma ada beberapa macam yang diberi nama sesuai bentuk alas prisma. Contoh:

gambar (a) dinamakan prisma segitiga. Gambar (b) dinamakan prisma segiempat karena dua bidang yang sejajar berupa segiempat, sedangkan gambar (c) dinamakan prisma segilima. Jika kita perhatikan semua prisma (a), (b), dan (c) maka prisma-prisma tersebut mempunyai rusuk-rusuk yang tegak. Prisma seperti ini dinamakan prisma tegak.

 

B.     Bagian-Bagian Prisma dan Limas

 Misal: membahas prisma segilima!

    

Gambar di atas adalah prisma segilima ABCDE.FGHIJ. Bidang pada prisma tersebut adalah ABCDE (bidang alas) dan FGHIJ (bidang tutup) yang berbentuk segilima. Sedangkan bidang-bidang tegaknya, yaitu ABGF, BCHG, CDIH, DEJI, dan EAFJ yang berbentuk persegi panjang.

Jumlah rusuk pada prisma segilima ini adalah 15 buah, dengan rusuk tegaknya adalah AF, BG, CH, DI, dan EJ. Sedangkan rusuk-rusuk lainnya adalah AB, BC, CD, DE, EA, FG, GH, HI, JF, dan IJ.

Selanjutnya akan membahas contoh limas, missal limas segiempat.

Gambar di atas adalah limas segiempat T.ABCD. Bidang alas limas tersebut, yaitu ABCD, berbentuk segiempat, serta bidang-bidang tegak lainnya, yaitu TAB, TBC, TCD, dan TAD berbentuk segitiga.

Jumlah rusuk limas segiempat ini adalah 8 buah. Rusuk tegaknya adalah TA, TB, TC, dan TD, sedangkan rusuk-rusuk lainnya adalah AB, BC, CD, dan DA.

      1. Bidang Diagonal Prisma

Misal kita ambil prisma segilima

           

Gambar di atas merupakan gambar prisma segilima beraturan ABCDE.FGHIJ. Bidang ACHF  merupakan bidang diagonal prisma yang dibatasi oleh dua buah diagonal bidang, serta dua buah rusuk tegak. Bidang seperti ACHF inilah yang dinamakan dengan bidang diagonal prisma.

Perhatikan kembali bidang diagonal ACHF pada gambar di atas. Bidang ini dibatasi oleh diagonal bidang AC dan FH yang saling sejajar dan sama panjang, serta dua rusuk tegak AF dan CH yang sejajar, sama panjang, dan tegak lurus dengan bidang alas dan tutup, maka bentuk dari bidang diagonal ACHF adalah persegi panjang. 

       2. Bidang Diagonal Limas

 

Gambar di atas merupakan gambar limas segilima beraturan T.ABCDE. Bidang TAC dan bidang TEC  merupakan bidang diagonal limas T.ABCDE.

Bidang diagonal limas dibatasi oleh satu buah diagonal bidang dan dua buah rusuk limas. Dari gambar, terlihat bahwa bidang diagonal limas berbentuk segitiga dengan sisi alas merupakan diagonal bidang alas limas tersebut.

C.    Menggambar Prisma dan Limas

      1. Menggambar Prisma           

Untuk menggambar sebuah prisma, ada beberapa hal yang perlu kita perhatikan, yaitu:

a)     Terdapat dua bidang yang sejajar dan kongruen (bentuk dan ukurannya sama) yaitu bidang alas dan bidang tutup.

b)      Rusuk-rusuk tegak pada prisma panjangnya sama.

c)      Rusuk-rusuk yang tidak terlihat oleh pandangan, digambar dengan garis putus-putus.

       2.  Menggambar Limas

Ada beberapa hal yang perlu kalian perhatikan saat menggambar sebuah limas, yaitu:

a)     Terdapat bidang alas yang berupa bangun datar, seperti segitiga, persegi, persegi panjang, atau bangun datar lainnya.

b)   Terdapat garis tinggi limas, yaitu garis yang tegak lurus dengan bidang alas dan melalui titik puncak limas.

c)      Rusuk-rusuknya sama panjang dan ujungnya bertemu pada titik puncak.

d)     Rusuk-rusuk yang tidak terlihat oleh pandangan, digambar dengan garis putus-putus.

           

D.    Jaring-Jaring Prisma dan Limas          

       1. Jaring-Jaring Prisma

Perhatikan gambar berikut

  
            (a)                                                                            (b)

Jika prisma segilima ABCDE.FGHIJ pada gambar (a) kita iris sepanjang rusuk EA, AB, BC, CD, JF, FG, GH, dan HI, kemudian kita buka dan bentangkan, maka akan membentuk bangun datar seperti terlihat pada gambar (b). Gambar (b) tersebut merupakan jaring-jaring prisma segilima.

      2. Jaring-Jaring Limas

Perhatikan gambar limas segitiga O.ABC berikut ini!

 

Jika limas segitiga O.ABC pada gambar (i) kita iris sepanjang rusuk OA, TB, dan TC, kemudian  kita buka dan bentangkan, maka akan terbentuk jaring-jaring limas seperti pada gambar (ii).

           

E.     Luas Permukaan Prisma dan Limas

       1. Luas Permukaan Prisma

Misalkan kita memiliki prisma segilima ABCDE.FGHIJ seperti terlihat pada gambar (a) dan bentuk jaring-jaringnya pada gambar (b). Maka luas permukaan prisma adalah sebagai berikut.

 

(a)                                                                          (b)

       

Luas permukaan prisma segilima ABCDE.FGHIJ = luas bidang EABCD + luas bidang IHGFJ +  uas bidang EDIJ + luas bidang DCHI + luas bidang CBGH + luas bidang BAFG + luas bidang AEJF

 Karena bidang alas dan bidang tutup prisma kongruen, maka luas EABCD = luas IHGFJ, sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk berikut.

Luas permukaan prisma = luas bidang EABCD + luas bidang

EABCD + a × t + a × t + a × t + a × t + a × t

= 2 × luas EABCD + (a + a + a + a + a) × t

= (2 × luas alas) + (keliling alas × tinggi prisma)

Maka untuk setiap prisma berlaku rumus:

Luas permukaan prisma = (2 × luas alas) + (keliling alas × tinggi prisma)

Contoh:

Alas sebuah prisma berbentuk segitiga sama kaki dengan panjang sisi-sisinya 6 cm, 6 cm dan 4 cm. Jika tinggi prisma 9 cm, hitunglah luas permukaan prisma tersebut!

Penyelesaian:

Terlebih dahulu kita harus mencari tinggi segitiga alasnya.

t = √62 - 22

 = √36 - 4

 = √32= 4√2 cm

= 5,66 cm

Luas permukaan prisma

= 2 × luas alas + (keliling alas × tinggi prisma)

= (2 × 12 × 4 × 5,66) + [(6 + 6 + 4) × 9]

= 22,63 + 144 = 166,63 cm2.

      2. Luas Permukaan Limas

Perhatikan limas segitiga O.ABC pada gambar (i) dan jaring-jaring limas pada gambar (ii). Luas permukaan limas tersebut adalah sebagai berikut.

 

Luas permukaan limas O.ABC:

 = luas bidang ABC + luas bidang OAB + luas bidang OBC + luas bidang OCA

 = luas alas + luas ΔOAB + luas ΔOBC + luas ΔOCA

 = luas alas + jumlah luas semua segitiga tegak.

Maka untuk setiap limas berlaku rumus:

Luas permukaan limas = luas alas + jumlah luas semua segitiga tegak

Contoh:

Alas sebuah limas beraturan berbentuk segilima dengan panjang sisi 6 cm. Jika tinggi segitiga pada bidang tegak 15 cm, tentukanlah luas alas dan luas permukaan limas tersebut!

Penyelesaian:

Untuk menghitung luas alasnya, kita harus menghitung tinggi segitiga pada alas limas.

h = √62 – 32 = √36 – 9 = √27 = 3√3 cm

Maka luas alas = 5 × luas Δ

= 5 × 12 × 6 × 3√3 = 45√3cm2 = 77,94 cm2

Luas permukaan limas

= luas alas + (5 × luas Δ bidang tegak)

= 77,94+ (5 × 12 × 6 × 15)

= 77,94 + 225

= 302,94 cm2.

F.     Volume Prisma dan Limas

Volume merupakan isi dari suatu bangun ruang. Volume bangun ruang dapat ditentukan dengan menggunakan rumus.

       1.  Volume Prisma

Untuk menentukan rumus umum volume sebuah prisma, marilah kita tinjau rumus volume prisma segitiga. Rumus volume prisma segitiga dapat diturunkan dari rumus volume balok. Perhatikanlah gambar berikut ini.

 

Jika balok ABCD.EFGH pada gambar di atas dibagi dua melalui bidang diagonal BDFH, maka akan diperoleh dua buah prisma segitiga, yaitu prisma ABD.EFH dan prisma BCD.FHG. Karena bidang diagonal balok membagi balok menjadi dua bagian sama besar, maka volume balok sama dengan dua kali volume prisma segitiga. Maka volume prisma segitiga dapat dirumuskan:

Volume prisma segitiga = ½ × volume balok ABCD.EFGH

= ½ × AB × BC × CG           

= ½ × luas bidang ABCD × CG

= ½ × (luas ΔABC + luas ΔACD) × CG

= ½ × (2 × luas ΔABC) × CG

= luas ΔABC × CG

= luas alas × tinggi prisma

Untuk volume prisma segienam beraturan juga sama yaitu: luas alas x tinggi prisma.

Maka untuk setiap prisma berlaku rumus:

(Volume prisma = luas alas × tinggi prisma).

Contoh:

Alas sebuah prisma berbentuk trapezium sama kaki dengan panjang sisi-sisi sejajarnya adalah 12 cm dan 20 cm, serta sisi miringnya 5 cm. Jika tinggi prisma tersebut 25 cm, hitunglah volume prisma!

Penyelesaian:

Sebelum mencari volume prisma, kita harus mencari luas alas prisma tersebut.

2a = 20 – 12 = 8

a = 4 cm

t = √52 – 42 = √25 – 16= √9

= 3 cm

Luas alas = (20 + 12)

2 × 3 = 32

2 × 3 = 16 × 3 = 48 cm2

Jadi, volume prisma adalah: V = luas alas × tinggi prisma = 48 × 25 = 1.200 cm3.

      2.  Volume Limas

Untuk menentukan rumus volume limas, dapat dicari dengan bantuan sebuah kubus.

Misal kubus ABCD.EFGH, Jika kita membuat semua diagonal ruangnya maka diagonal-diagonal tersebut akan berpotongan pada satu titik dan membagi kubus ABCD.EFGH menjadi enam limas segiempat yang kongruen. Karena luas enam limas segiempat sama dengan luas  kubus, maka:

volume limas = 1/6 × volume kubus

= 1/6 × s3 = 16 × s × s × s

= 1/6 × (s × s) × 2 × ½ s

= 1/6 × 2 × luas bidang ABCD × TO

= 1/3 × luas alas × tinggi limas

(Volume limas = 1/3 × luas alas × tinggi limas).

Contoh:

Alas sebuah limas beraturan berbentuk persegi dengan panjang sisi 12 cm. Jika tinggi segitiga pada bidang tegaknya adalah 10 cm, hitunglah tinggi limas dan volume limas tersebut!

Penyelesaian:

Dari soal diketahui bahwa:

AB = 12 cm, TE = 10 cm

OE = AB : 2 = 12 : 2 = 6 cm

Sehingga, tinggi limas adalah

TO = √TE – OE = √102 – 62

= √100 – 36= √64 = 8 cm

Maka volume limas tersebut adalah

V = 13 × luas alas × tinggi limas

= 13 × (12 × 12) × 8 = 384 cm3.

G.    Perubahan Volume Prisma dan Limas Jika Rusuknya Berubah

Volume prisma dan limas bergantung pada ukuran alas dan tinggi dari prisma dan limas tersebut. Jika ukuran alas dan tingginya kita ubah, maka volumenya pun akan berubah. Untuk mengetahui besar perubahan volume, kita dapat mencarinya dengan cara menghitung selisih volume sebelum dan setelah perubahan.